数论的新纪
元。书中出现了有关正多边形的作图，方便的同余记号以及优美的二次互反律的
首次证明等。这部伟大的著作曾经寄到法国科学院而被拒绝，但高斯自己把它发
表了。和高斯的前期作品一样，它是用拉丁文写的，这是当时科学界的世界语，
然而由于受十九世纪初国家主义的影响，高斯后来改用德文写作。如果他和其他
研究者坚持使用拉丁文，也许今日我们就可以免除语言上的困扰了。在那个世纪
的末端，集合论的创始人康托这样评价：
《算术研究》是数论的宪章。高斯总是迟迟不肯发表他的著作，这给科学带
来的好处是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版时一样正确和重要，他的出
版物就是法典。比人类其它法典更高明，因为不论何时何地从未发觉出其中有任
何一处毛病，这就可以理解高斯暮年谈到他青年时代第一部巨著时说的话：
“《算术研究》是历史的财富。”他当时的得意心情是颇有道理的。
关于《算术研究》，还流传着这样一个故事，1849年7月16日，哥廷根大学
为高斯获得博士学位五十周年举行庆祝会。当进行到某一程序时，高斯准备用
《算术研究》的一张原稿点烟，当时在场的数学家狄里克雷（后来继承了高斯的
职位），像见到渎圣行为一样吃了一惊，他立刻冒失地从高斯手中抢下这一页纸，
并一生珍藏它；他的编辑者在他死后从他的论文中间找到了这张原稿。
和艺术家一样，高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品，任何丝毫的改
变都将破坏其内部的均衡。他常说：“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除
干净。”高斯对于严密性的要求也非常苛刻，使得一个定理从直觉的形式到完整
的数学证明，中间有一段很长的过程。此外，高斯十分讲究组织结构，他希望在
每一个领域中，都能树立起一致而普遍的理论，从而将不同的定理联系起来。鉴
于上述原因，高斯很不乐意公开发表他的东西。他的著名的警句是：宁肯少些，
但要成熟。为此，高斯付出了高昂的代价，包括把非欧几何学和最小二乘法的发
明权让给了罗巴切夫斯基、鲍耶和勒让德，就如同费尔马把解析几何和微积分的
发明权让给了笛卡尔和牛顿、莱布尼兹。
从做出有关正多边形发现的那天起，高斯开始了著名的数学日记，他以密码
式的文字记载下许多伟大的数学发现。高斯的这本日记直到1898年才被找到，它
包括146条很短的注记，其中有数值计算结果，也有简单的数学定理。例如，关
于正多边形作图问题，高斯在日记中写到：
圆的分割定律，如何以几何方法将圆十七等分。
又如1796年7月10日的记载，
num＝△＋△＋△
意指“每个自然数都是三个三角形数之和”。就像莫扎特一样，高斯年轻时
候风起云涌的奇思妙想使他来不及做完一件事，另一件又出现了。
多才多艺
高斯不仅是数学家，还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。在
《算术研究》问世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛
观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗现在被称作谷神星
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（Ceres）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下
没了踪影。当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了
学术界关注的焦点，甚至成了哲学问题。黑格尔就曾写文章嘲讽天文学家说，不
必那么热衷去找寻第八颗行星，他认为用他的逻辑方法可以证明太阳系的行星，
不多不少正好是七颗。高斯也对这颗星着了迷，他利用天文学家提供的观测资料，
不慌不忙地算出了它的轨迹。不管黑格尔有多么不高兴，几个月以后，这颗最早
发现迄今仍是最大的小行星准时出现在高斯指定的位置上。自那以后，小行星、
大行星（海王星和冥王星）接二连三地被发现了。
在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线
电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、
测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。即使是数学方面，
我们谈到的也只是他年轻时候在数论领域里所做的一小部分工作，在他漫长的一
生中，他几乎在数学的每个领域都有开创性的工作。例如，在他发表了《曲面论
上的一般研究》之后大约一个世纪，爱因斯坦评论说：“高斯对于近代物理学的
发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越
一切，无与伦比的。”
高处不胜寒
在高斯的时代，几乎找不到什么人能够分享他的想法或向他提供新的观念。
每当他发现新的理论时，他没有人可以讨论。这种孤独的感觉，经年累月积存下
来，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。这种智慧上的孤独，在历史上只有
很少几个伟人感受过。高斯从不参加公开争论，他对辩论一向深恶痛绝，他认为
那很容易演变成愚蠢的喊叫，这或许是他从小对粗暴****的父亲一种心理上的反
抗。高斯成名后很少离开过哥廷根，他曾多次拒绝柏林、圣彼德堡等地科学